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数の悪魔―算数・数学が楽しくなる12夜 [自然科学]

ロバートは算数のきらいな男の子で、眠るたびに魚にのみこまれたり、滑り台を延々滑り落ちる夢を見るのが悩み。ある日夢の中に「数の悪魔」となのる赤い男があらわれて、ロバートに数についていろいろな話をしてくれる、最初はいやがって、ケンカしていたロバートだが次第に悪魔との数の話が楽しくなり、心待ちにするようになる。最後にはただ面白い話を聞いているだけではなくて、証明したいと思うまでになり、ついには数の悪魔の国の晩さん会に招かれて星のついたネックレスをもらう

証明ではなく、数のいろいろな面白い性質についての話

1がすべてのはじまり、1からすべての数字がつくれる、1×1=1 11×11=121...

0は特別な数字、0があるから私たちは数字を簡単にあらわせる、1986=1×6+8×10+9×100+1×1000

素数の秘密、1とそれ以外の数でしか割れない素数、たくさんみつかっているし、法則もたくさん発見されているが、どうしてそうなるのかはわからない。
法則例 1より大きな数を考えて、それを2倍する、するとその間に少なくとも1つの素数がある
     2よりも大きい偶数はかならず2つの素数をたしたもの表せる
     5より大きい奇数はかならず3つの素数をたしたもので表せる

大根(平方根)と無理数のはなし、√2は無理数

三角形の数 ヤシの実をいちばん上列1つ、2列目に2つ 3列目に3つならべていく、ヤシの実をかぞえていくと、1列目は1、2列目は1+2=3、3列目は3+3=6、これを数列にして、1,3,6,10,15,21,28,...
すべての数字は3つ以上の三角形の数であらわせる。 12=1+1+10
2つの三角形の数を足すと、2乗した数になる、 1+3=4=2の2乗

フィボナッチ数列 1+1=2 から始めて、 最後の2つの数をたす、1+2=3 こうして求められた数列
1,1,2,3,5,8,13,21,34,55...
これはうさぎ時計で説明していた。つまり5分で1か月すすむ時計があって、最初は子どものウサギの雄雌が一組、5分後には大人になり、5分後には雄雌一組の子どもがうまれる。(これってだいたい自然のうさぎといっしょ)これでウサギな何匹になるか数えていくとフィボナッチ数列になる。また、木が枝分かれしていく様子もフィボナッチ数列とあっているらしい

パスカルの3角形
底辺が16個のブロックをピラミッド状にならべ、いちばん端っこのブロックに1とかいていく、間のブロックはその上のブロック2つの合計をいれる。こうして得られるのがパスカルの3角形、この3角形にはいろいろな性質がある。その解説
列でたしていくと、2のホイップ(べき乗)が得られる
斜めによむと、フィボナッチに数列になっている列がある、3角形の数になっている列がある。偶数や奇数でわけると、逆3角形があらわれたりする。

順列くみあわせ、
クラスで席順を決める夢。順番が決まっているときは、人数の階乗(びっくり)で組み合わせがもとめられる
クラスのなかから掃除当番を選ぶのは、順序のない組み合わせ。
クラスの人全員と握手するとしたら、全部の握手の回数は3角形の数でもとめられる。

無限と収束
1/2+1/4+1/8+...どんどん小さい数をたしていくわけだが、この級数は1に無限にちかづくわけだ
1/2+1/3+1/4+...こんな風に考える、1/2+1/3は1/2よりおおきい、1/4+1/5+1/6+1/7はひとつひとつは1/8より大きいので、4/8=1/2より大きい、というわけで、全体は1より大きい

オイラーの公式
平面図形のとき、点の数K、面の数F、線の数Lの間には
K+F-L=1がなりたつ、また立体ならK+F-L=2がなりたつ
自分で書いて数えてみる。
また、フィボナッチ数列のとなりあう数をわると、1.618033...の無理数に近づく。
ちなみに任意の二つの数でフィボナッチをもとめたときと同じ方法で数列をつくり、隣り合う数をわっても1.618033...の無理数に近づく
本では5角形もとりあげていた

証明は難しい
旅するセールスマンの問題
アメリカの友人25人を訪問する。いちばん効率的に回る方法は?
25の階乗とおりある。計算しきれない。
証明は、川を飛び石をたよりにわたるようなもの。飛び石は公理にあたる。気をつけないと「ほとんどの場合うまくいく」方法にだまされる。ひとつでもうまくいかない方法があったら、それは公理ではないからだ

ピタゴラスの宮殿
ロバートは数の悪魔の弟子とみとめられ数の楽園(数の地獄でもあるらし)の晩餐に招待される、そこでは0を発明したひと、虚数を考えたガウス、オイラーやラッセル卿が暮らしていた。神様は1を考えたひとらしい。そこでロバートは正式に弟子としてみとめられる。同時に独り立ちのときがきたのだ。


数の悪魔―算数・数学が楽しくなる12夜

数の悪魔―算数・数学が楽しくなる12夜

  • 作者: ハンス・マグヌス エンツェンスベルガー
  • 出版社/メーカー: 晶文社
  • 発売日: 2000/04/01
  • メディア: 単行本(ソフトカバー)



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